Sie befinden sich in einem 36-stöckigen GebÀude und sollen das höchste Stockwerk bestimmen, aus dem man ein Ei fallen lassen kann, ohne dass es bei der Landung zerbricht.
Dazu stellen Sie Fallversuche an, fĂŒr die folgenden Annahmen gelten sollen:
– Alle Eier verhalten sich bei diesen Versuchen gleich
– Wenn ein Ei bei der Landung zerbricht, dann wĂŒrde es auch beim Fall aus einem höheren Stockwerk zerbrechen.
– Wenn ein Ei nicht zerbricht, dann wĂŒrde es auch den Fall aus einem niedrigeren Stockwerk ĂŒberstehen.
– Ein Ei, das beim Fallen nicht zerbrochen ist, kann weiterverwendet werden, ein zerbrochenes dagegen nicht mehr.
– Es kann nicht ausgeschlossen werden, dass ein aus dem ersten Stock fallengelassenes Ei zerbricht
– Es ist auch nicht ausgeschlossen, dass ein Ei den Fall aus dem 36-sten Stock ĂŒberlebt.
Wenn nur ein Ei zur VerfĂŒgung steht, ist die Vorgehensweise klar: Man lĂ€sst das Ei aus dem ersten Stock fallen, dann aus dem zweiten, dritten, usw., bis es zerbricht. Im ungĂŒnstigsten Fall sind dazu 36 Fallversuche erforderlich.
Es seien nun zwei Eier vorhanden.
Was ist die kleinste Anzahl von Fallversuchen, mit der man immer das gesuchte Stockwerk bestimmen kann?
Notiz: Quelle: Mathematische Preisaufgabe HfT Stuttgart, SG Mathematik, SS02
Mathematische Knobelaufgabe Lösung
Minimum sind 2 und Maximum sind 8 Versuche.
- Wurf aus dem 8. Stock â Ei kaputt, dann mit 2.tem Ei
- Wurf aus dem 1. Stock â Ei kaputt = Ergebnis (2 Versuche), Ei nicht kaputt dann
- Wurf aus dem 2. Stock ⊠8. Wurf aus dem 7. Stock (Ergebnis zwischen 3 bis 8 Versuchen bzw. zwischen 2. bis 7. Stock)
- Wurf aus dem 8. Stock â Ei nicht kaputt, dann
- Wurf aus dem 15.Stock â Ei kaputt, dann mit 2.tem Ei
- Wurf aus dem 9. Stock â Ei kaputt = Ergebnis (3 Versuche), Ei nicht kaputt dann
- Wurf aus dem 10. Stock ⊠8. Wurf aus dem 14. Stock (Ergebnis zwischen 4 bis 8 Versuchen bzw. zwischen 10. bis 14. Stock)
- Wurf aus dem 15. Stock â Ei nicht kaputt, dann
- Wurf aus dem 21.Stock â Ei kaputt, dann mit 2.tem Ei
- Wurf aus dem 16. Stock â Ei kaputt = Ergebnis (4 Versuche), Ei nicht kaputt dann
- Wurf aus dem 17.Stock ⊠8. Wurf aus dem 20.Stock (Ergebnis zwischen 5 bis 8 Versuchen bzw. zwischen 17. bis 20. Stock)
- Wurf aus dem 21.Stock â Ei nicht kaputt, dann
- Wurf aus dem 26. Stock â Ei kaputt, dann mit 2.tem Ei
- Wurf aus dem 22.Stock â Ei kaputt = Ergebnis (5 Versuche), Ei nicht kaputt dann
- Wurf aus dem 23. Stock ⊠8. Wurf aus dem 25.Stock (Ergebnis zwischen 6 bis 8 Versuchen bzw. zwischen 23. Bis 25. Stock)
- Wurf aus dem 26.Stock â Ei nicht kaputt, dann
- Wurf aus dem 30. Stock â Ei kaputt, dann mit 2.tem Ei
- Wurf aus dem 27.Stock â Ei kaputt = Ergebnis (6 Versuche), Ei nicht kaputt dann
- Wurf aus dem 28.Stock ⊠8. Wurf aus dem 29.Stock (Ergebnis bei 7 oder 8 Versuchen bzw. beim 28. oder 29. Stock)
- Wurf aus dem 30. Stock â Ei nicht kaputt, dann
- Wurf aus dem 33. Stock â Ei kaputt, dann mit 2.tem Ei
- Wurf aus dem 31. Stock â Ei kaputt = Ergebnis (7 Versuche), Ei nicht kaputt dann
- Wurf aus dem 32. Stock, Ei muss hier kaputt gehen (8 Versuche)
- Wurf aus dem 33. Stock â Ei nicht kaputt, dann
- Wurf aus dem 35. Stock â Ei kaputt, dann mit 2.tem Ei
- Wurf aus dem 34. Stock, Ei muss hier kaputt gehen (8 Versuche)
- Wurf aus dem 35. Stock â Ei nicht kaputt, dann
- Wurf aus dem 36. Stock â Ei kaputt / nicht kaputt (8 Versuche)
Das Eier-Drop-RĂ€tsel â Optimale Strategie & ErklĂ€rung
Du hast zwei Eier und möchtest das höchste Stockwerk in einem 36-stöckigen GebÀude bestimmen, aus dem man ein Ei fallen lassen kann, ohne dass es zerbricht.
Ziel:
Die kleinste Anzahl von Versuchen finden, mit denen du das sicher herausfinden kannst.
Warum kann man nicht einfach systematisch vorgehen?
- Mit einem Ei: Du mĂŒsstest im schlimmsten Fall 36-mal testen (Stockwerk 1, dann 2, dann 3 ⊠bis es zerbricht).
- Mit zwei Eiern: Du kannst intelligenter testen und die Anzahl der Versuche reduzieren.
Optimale Strategie mit 2 Eiern
1ïžâŁ Starte im 8. Stock und wirf das erste Ei:
- Wenn es zerbricht, teste mit dem zweiten Ei von unten nach oben (Stockwerk 1 bis 7).
- Wenn es nicht zerbricht, springe weiter nach oben.
2ïžâŁ Erhöhe das nĂ€chste Wurf-Stockwerk schrittweise:
- Nach 8 â Springe auf 15
- Nach 15 â Springe auf 21
- Nach 21 â Springe auf 26
- Nach 26 â Springe auf 30
- Nach 30 â Springe auf 33
- Nach 33 â Springe auf 35
3ïžâŁ Falls das erste Ei irgendwann zerbricht:
- Teste mit dem zweiten Ei alle Stockwerke unterhalb des letzten Wurfes, Schritt fĂŒr Schritt nach oben.
đĄ Ergebnis:
Im schlimmsten Fall brauchst du maximal 8 Versuche, um das richtige Stockwerk herauszufinden!
Warum funktioniert diese Strategie?
- Die Wahl der Stockwerke basiert auf der Summe von 1 + 2 + 3 + … + n, sodass du nie mehr als 8 Versuche brauchst.
- Das erlaubt dir, mit dem ersten Ei möglichst effizient die Suchbereiche zu halbieren und mit dem zweiten Ei gezielt nachzutesten.
HÀufige Denkfallen & alternative AnsÀtze
đ« HĂ€ufiger Fehler: Viele starten mit dem halben GebĂ€ude (Stockwerk 18), aber das erhöht die maximale Versuchszahl!
â
Besser: Die Strategie mit triangularen Zahlen (1+2+3+…) fĂŒhrt zur optimalen Lösung.
Teste dein Wissen!
𧩠Wie wĂŒrdest du das Problem lösen, wenn das GebĂ€ude 100 Stockwerke hĂ€tte?