Das Geburtstagsrätsel

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Kinder am gleichen Tag Geburtstag haben, liegt bei über 50 Prozent – genauer gesagt: etwa 50,7 %!

Warum ist das so?

Statt zu fragen:

„Wie wahrscheinlich ist es, dass zwei denselben Geburtstag haben?“

fragt man lieber:

„Wie wahrscheinlich ist es, dass alle 23 verschiedene Geburtstage haben?“

Diese „Gegenwahrscheinlichkeit“ ist leichter zu berechnen. Sie ergibt nur etwa 49,3 %.

Also:
→ Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei den gleichen Geburtstag haben, ist 100 % − 49,3 % = 50,7 %.

Stell es dir so vor:

Du ziehst 23 Lose aus einer Box mit 365 verschiedenen Zahlen (die Tage im Jahr).
Wie wahrscheinlich ist es, dass keine Zahl doppelt vorkommt?

Nicht sehr hoch. Schon bei 23 Leuten ist die Chance, dass zwei das gleiche Datum erwischen, über 50 %.

Mathematische Lösung – Schritt für Schritt erklärt

Wir berechnen die Gegenwahrscheinlichkeit:

Wie wahrscheinlich ist es, dass alle 23 Personen verschiedene Geburtstage haben?

Dann ziehen wir diese Wahrscheinlichkeit von 100 % ab – und erhalten so die Lösung.

🔢 Schritt 1: Vereinfachung

• Es gibt 365 Tage im Jahr.

• Wir ignorieren Schaltjahre.

• Geburtstage sind gleich verteilt über das Jahr.

• Wir rechnen ohne Geburtstage am gleichen Tag geboren zu sein.

🧮 Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten multiplizieren

Für Person 1:

• Hat freie Auswahl → 365 von 365 möglichen Tagen ⇒ Wahrscheinlichkeit = 1

Für Person 2:

• Muss einen anderen Tag als Person 1 haben → 364 von 365 ⇒ 364/365

Für Person 3:

• Muss einen anderen Tag als die ersten zwei → 363/365

…

Für Person 23:

• Muss einen anderen Tag als 22 andere → 343/365

📈 Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass alle 23 Personen verschiedene Geburtstage haben:

$$P=\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\times \cdots \times \frac{343}{\mathrm{365<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;"></span>}}$$

Das ergibt:

P \approx 0{,}4927 \quad \text{(also etwa 49{,}27 %)}

🟢 Schritt 3: Gesuchte Wahrscheinlichkeit

$$\text{Mindestens 2 Personen mit gleichem Geburtstag}=1-P\approx 1-\mathrm{0,4927}=\mathrm{0,5073}$$

➡️ 50,73 % Wahrscheinlichkeit

🧠 Fazit:

Schon ab 23 Personen ist es wahrscheinlicher als nicht, dass mindestens zwei den gleichen Geburtstag haben!

Das nennt man das Geburtstagsparadoxon, weil es unserem Gefühl widerspricht – mathematisch aber korrekt ist.